Aissati urodził się w Utrechcie w rodzinie marokańskich emigrantów. Pierwsze kroki piłkarskiej kariery stawiał w klubach z rodzinnego miasta, DOS Utrecht oraz Elinkwijk Utrecht. Następnie trafił do młodzieżowej drużyny PSV Eindhoven, a w 2004 roku został włączony do kadry pierwszej drużyny. 19 października rozegrał swój pierwszy mecz w profesjonalnym futbolu. Był to mecz Ligi Mistrzów pomiędzy A.C. Milan, a PSV (0:0) i tym samym stał się Aissati stał się najmłodszym w historii holenderskim piłkarzem w Lidze Mistrzów. Pobił rekord Ryana Babela, który w chwili debiutu był 8 miesięcy starszy. 9 dni później, 28 października Aissati zadebiutował w Eredivisie wygranym 3:0 meczem z Rodą JC Kerkrade (w 88. minucie zmienił Phillipa Cocu). W całym sezonie zagrał 18 razy i strzelił 2 gole (rewanżowym z Rodą oraz z Willem II Tilburg), a z PSV wywalczył mistrzostwo Holandii.

Sezon 2006/2007 Aissati rozpoczął także w PSV (10 meczów, 1 gol w rundzie jesiennej), a w zimie 2007 został wypożyczony do FC Twente Enschede, w którym wywalczył miejsce w podstawowej jedenastce. W Twente zadebiutował 20 stycznia w wygranym 2:1 wyjazdowym meczu z RKC Waalwijk. Jesienią 2007 wrócił do PSV i został mistrzem Holandii. Na początku sezonu 2008/2009 został zawodnikiem Ajaksu Amsterdam.

W 2006 roku Aissati był członkiem młodzieżowej reprezentacji Holandii U-21 na Młodzieżowe Mistrzostwa Europy. Zagrał na nich we wszystkich meczach, wywalczył mistrzostwo (90 minut w wygranym 3:0 finale z Ukrainą) i został wybrany do Najlepszej Jedenastki mistrzostw.

Posiadając zarówno paszport holenderski jak i marokański Aissati może wybierać, czy chce grać w seniorskiej reprezentacji Holandii czy Maroka. Obecnie jest uważany za jeden z największych talentów w holenderskiej piłce.