Săpunaru jest wychowankiem klubu Naţional Bukareszt, wywodzącym się z jego rodzinnego miasta. W 2002 roku został włączony do kadry pierwszej drużyny. 1 grudnia zadebiutował w pierwszej lidze w zremisowanym 0:0 domowym spotkaniu z Glorią Bistriţa. Przez pierwsze dwa sezony był tylko rezerwowym w Naţionalu, toteż na początku 2004 roku został wypożyczony do drugoligowego zespołu Callatis Mangalia. Latem wrócił do stołecznej drużyny, ale w jej barwach rozegrał tylko 6 spotkań. Jednak w sezonie 2005/2006 grał już w podstawowym składzie i zdobył wówczas swoje pierwsze 3 gole w ekstraklasie rumuńskiej.

Latem 2006 Săpunaru odszedł do lokalnego rywala Naţionalu, Rapidu Bukareszt. Jesienią wraz z Rapidem wystąpił w fazie grupowej Pucharu UEFA, zaliczając w całej edycji pucharu 6 spotkań. Z kolei w lidze wystąpił w 19 spotkaniach, w których zdobył gola, a Rapid zakończył sezon na 4. miejscu w tabeli. Natomiast w sezonie 2007/2008 strzelił 2 gole w 32 meczach i wraz z partnerami klubowymi zajął 3. miejsce w rumuńskiej lidze.